作业帮一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是5°,最小角是120°,则此多边形的边数是?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 14:57:29
一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是5°,最小角是120°,则此多边形的边数是?
一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是5°,最小角是120°,则此多边形的边数是?
一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是5°,最小角是120°,则此多边形的边数是?
设为x
则最大角是120+5(x-1)=5x+115度
所以内角和=(120+5x+115)x/2=(x-2)*180
5x²+235x=360x-720
5x²-125x+720=0
x²-25x+144=0
x=9,x=16
凸多边形则5x+115
设此多边形的边数是N，有
180*(N-2)=120*N+5*N*(N-1)/2
N*N-25N+144=0
N=9或N=16
当N=16时，120+5*（N-1)=195度>180度，不符合要求。
多边形的边数是9
要了解多边形的内角和求和公式=(N-2)*180°
设这个多边形是n
a1=120° d=5°
Sn=na1+n(n-1)d/2=(n-2)*180°
240n+5n^2-5n=360n-720
（n-9）（n-16）=0
n=6 或n=9
设为n
则内角和为[120+120+5(n-1)]n/2=(n-2)*180
解得n=9
故……
令边数为N n>3,整数
该数列an=120+（n-1）*5=115+5n，满足an<180(凸多边形)
**即n＜13
内角和 (n-2)*180 ①
数列前n项和公式的内角和 120*n+(n-1)n*5 /2 ②
①=②
(n-2)*180=120*n+(n-1)n*5/2
得n=9或16（舍去n<13）
∴边数为9