作业帮已知a、b、c均为正整数,且满足a²+b²=c²,又a为质数证明（1）b与c两数必为一奇一偶（2）2（a+b+1）是完全平方数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 18:08:22
已知a、b、c均为正整数,且满足a²+b²=c²,又a为质数证明（1）b与c两数必为一奇一偶（2）2（a+b+1）是完全平方数
已知a、b、c均为正整数,且满足a²+b²=c²,又a为质数
证明（1）b与c两数必为一奇一偶
（2）2（a+b+1）是完全平方数
已知a、b、c均为正整数,且满足a²+b²=c²,又a为质数证明（1）b与c两数必为一奇一偶（2）2（a+b+1）是完全平方数
证明（1）：若a=2,则4+b²=c²,4= c²- b²=(c-b)(c+b),三种情况c-b=1,c+b=4；c-b=2,c+b=2； c-b=4,c+b=1；后两种舍去,因为c>b.可得c=2.5,b=1.5,不满足,所以a是大于2的质数,很显然b、c都大于1.
若a=2k+1 (其中k>1),则(2k+1)²+b²=c²,又若b是奇数,设b=2m+1；
(2k+1)²+（2m+1）²=c²,4k²+4m²+4k+4m+2=c²,左边为偶数,所以右为偶数,即有c为偶数.若b是偶数,设b=2m；(2k+1)²+4m²=c²,4k²+4m²+4k+1=2(2k²+2m²+2k)+1=c²,左边为奇数,所以右为奇数,即有c为奇数.（奇数x奇数=奇数,奇数x偶数=偶数,偶数x偶数=偶数）
综上结论得证.
（2） 首先一个数是完全平方数的必要条件是:尾数为:0,1,4,5,6,9
由结论（1）,不妨设b=2m+1,c=2n；a为质数,不妨设a=2k+1,
又因2（a+b+1）是偶数,所以2（a+b+1）的尾数肯能为0、4、6.
2（a+b+1）=4(m+k)+6,（m、k>=1）；又a²+b²=c²,所以2（a+b+1）的尾数必
为0、4、6之一,得证
证明：（1）a²=c²-b²=(c+b)(c-b)若b、c奇偶性相同，则c+b与c-b均为偶数。设c
+b=2m，c-b=2n （m、n为正整数）则a²=(c+b)(c-b)=4mn （*），故a必为偶数，又已知a为质数，所以a=2，代入（*）式，得m=n=1，所以c+b=c-b，即b=0，与题设矛盾。故b与c两数必为一奇一偶。
（2）...
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证明：（1）a²=c²-b²=(c+b)(c-b)若b、c奇偶性相同，则c+b与c-b均为偶数。设c
+b=2m，c-b=2n （m、n为正整数）则a²=(c+b)(c-b)=4mn （*），故a必为偶数，又已知a为质数，所以a=2，代入（*）式，得m=n=1，所以c+b=c-b，即b=0，与题设矛盾。故b与c两数必为一奇一偶。
（2）
a²=(c+b)(c-b)且a为质数，c+b>c-b，故c+b=a²，c-b=1 两式相减可得2b=a²-1。
2（a+b+1）=2a+2b+2=2a+a²-1+2=a²+2a+1=(a+1)² 证毕。
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因为 a为质数，则a²=c²-b²则aa=(c-b)(c+b)又因为偶加偶=偶，奇+奇=奇，奇+偶=奇且为质数，
奇-偶=质数或偶-奇=质数，所以b与c两数必为一奇一偶
2（a+b+1）是不为完全平方数，a为质数 假设a=7 由1知b与c两数必为一奇一偶,设b=3
2（a+b+1)=22,设b=4,2（a+b+1）=24,所以由反例知2（a+...
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因为 a为质数，则a²=c²-b²则aa=(c-b)(c+b)又因为偶加偶=偶，奇+奇=奇，奇+偶=奇且为质数，
奇-偶=质数或偶-奇=质数，所以b与c两数必为一奇一偶
2（a+b+1）是不为完全平方数，a为质数 假设a=7 由1知b与c两数必为一奇一偶,设b=3
2（a+b+1)=22,设b=4,2（a+b+1）=24,所以由反例知2（a+b+1）是不为完全平方数
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