作业帮定长为3的线段AB两个端点在抛物线y^2=x的移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求M的坐标.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 07:52:27
定长为3的线段AB两个端点在抛物线y^2=x的移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求M的坐标.
定长为3的线段AB两个端点在抛物线y^2=x的移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求M的坐标.
定长为3的线段AB两个端点在抛物线y^2=x的移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求M的坐标.
设A,B坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),则所求M点到y轴距离为f(x1,x2)=(x1+x2)/2
按照题目条件可得一下等式：
y1^2=x1
y2^2=x2
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=3^2
整理得：x1^2-2x1x2+x2^2+x1+x2-2√(x1x2)=9
令φ(x1,x2)=x1^2-2x1x2+x2^2+x1+x2-2√(x1x2)-9
原题实际就是求f(x1,x2)=(x1+x2)/2在条件φ(x1,x2)=0时的条件极值.
构成函数G(x1,x2,λ)=(x1+x2)/2+λφ(x1,x2)
利用拉格朗日乘数法,得到一下方程组：
G对x1求导=1/2+2λx1-2λx2+λ-λx2/[√(x1x2)]=0
G对x2求导=1/2+2λx2-2λx1+λ-λx1/[√(x1x2)]=0
φ(x1,x2)=0
将前两个方程相减,得：λ(x1-x2)/[√(x1x2)]=0
所以f(x1,x2)=(x1+x2)/2在满足条件φ(x1,x2)=0时的极值点为：
λ=0或者x1=x2
显然λ＝0不符合要求,所以在x1=x2时,f(x1,x2)=(x1+x2)/2取得极值,即当线段AB平行于y轴时,点M到y轴的距离最短.
所以不妨令y1=-y2=3/2,易求得：(x1+x2)/2＝9/4
即M到y轴最短距离为9/4,此时M点坐标为(9/4,0)
当线段AB垂直于X轴时,点M到y轴的距离最短
即A点的纵坐标为3/2时
则A点的横坐标就是M到y轴的最短距离
x=y^2=9/4
wangji le