作业帮如何证明根号2和根号3是无理数?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 21:47:44
如何证明根号2和根号3是无理数?
如何证明根号2和根号3是无理数?
如何证明根号2和根号3是无理数?
若2^1/2是有理数,则必可表示为m/n的形式其中m,n是整数且不全为偶
数,开方得m^2=2n^2,
若n为偶数,则2n^2也是偶数,此时因为m不是偶数,所以m^2也不可能是
偶数,故此时等式m^2=2n^2不成立.
同理可证明m为偶数和m,n都不是偶数时等式都不成立
于是产生矛盾,所以假设2^1/2是有理数不成立.也就是说2^1/2是无理数.
用同样的方法应该可以证明出3^1/2也是无理数,我没有具体去证,你
自己试试看吧
无理数不能写成p/q（p、q为互质整数，q非零）的形式，假如根号2不是无理数，那么它也一定能写成上述形式，不妨设其等于a/b（a、b互质），那么有p^2=2*q^2，那么p^2一定是偶数，若其是偶数，不妨设为2m,则4m^2=2*q^2，则2m^2=q^2，沿用上面证明，则q也有2作为其因子，那么p、q就都是2的倍数，与p、q互质矛盾；
同理可证，根号3也不是有理数...
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无理数不能写成p/q（p、q为互质整数，q非零）的形式，假如根号2不是无理数，那么它也一定能写成上述形式，不妨设其等于a/b（a、b互质），那么有p^2=2*q^2，那么p^2一定是偶数，若其是偶数，不妨设为2m,则4m^2=2*q^2，则2m^2=q^2，沿用上面证明，则q也有2作为其因子，那么p、q就都是2的倍数，与p、q互质矛盾；
同理可证，根号3也不是有理数
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