作业帮已知:a/b=c/d求证:ab+cd是a²+c²和b²+d²的比例中项,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 23:37:48
已知:a/b=c/d求证:ab+cd是a²+c²和b²+d²的比例中项,
已知:a/b=c/d求证:ab+cd是a²+c²和b²+d²的比例中项,
已知:a/b=c/d求证:ab+cd是a²+c²和b²+d²的比例中项,
证明：(ab+cd)^2
=a^2b^2+2abcd+c^2d^2 (1)
因为a/b=c/d
所以ad=bc (2)
把（2）代人（1）得：
=a^2b^2+2ad*bc+c^2d^2
=a^2b^2+2a^2d^2+c^2d^2
=a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2
=((a^2+c^2)(b^2+d^2)
所以（ab+cd)^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)
所以ab+cd是a^2+c^2和b^2+d^2的比例中项
ab+cd是a²+c²和b²+d²的比例中项
即(ab+cd)²=(a²+c²)*(b²+d²)
即a²b²+2abcd+c²d²=a²b²+a²d²+b²c²+c²d²
全部展开
ab+cd是a²+c²和b²+d²的比例中项
即(ab+cd)²=(a²+c²)*(b²+d²)
即a²b²+2abcd+c²d²=a²b²+a²d²+b²c²+c²d²
即2abcd=a²d²+b²c²
因为a/b=c/d 所以 ad=bc
2abcd=2ad*bc=2ad*ad=a²d²+a²d²=a²d²+b²c²
左边=右边
所以ab+cd是a²+c²和b²+d²的比例中项
收起
：(ab+cd)^2
=a^2b^2+2abcd+c^2d^2 (1)
因为a/b=c/d
所以ad=bc (2)
把（2）代人（1）得：
=a^2b^2+2ad*bc+c^2d^2
=a^2b^2+2a^2d^2+c^2d^2
=a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2
=((a^2+c^2)(b^2+d^2)
所以（ab+cd)^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)
所以ab+cd是a^2+c^2和b^2+d^2的比例中项
设a/b=c/d=k,a=bk,c=dk
(ab+cd)(ab+cd)=(bk*b+dk*d)(bk*b+dk*d)=(b²+d²)²*k²=(b²+d²)²*k²
(a²+c²)(b²+d²)=((bk)²+(dk)²)(b²+d²)=(b²+d²)²*k²
ab+cd是a²+c²和b²+d²的比例中项，