作业帮又来麻烦您了,这次想问一下关于积分上限函数的问题.对定积分求导等于被积函数,最早我是用速度和路程的那个例子从几何意义上理解的.（速度函数的定积分是路程,对该积分求导又是某一X
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:57:05
又来麻烦您了,这次想问一下关于积分上限函数的问题.对定积分求导等于被积函数,最早我是用速度和路程的那个例子从几何意义上理解的.（速度函数的定积分是路程,对该积分求导又是某一X
又来麻烦您了,这次想问一下关于积分上限函数的问题.对定积分求导等于被积函数,最早我是用速度和路程的那个例子从几何意义上理解的.（速度函数的定积分是路程,对该积分求导又是某一X值下的速度的值）.高等数学上册P183：积分下限函数∫关于下限X的导数等于被积函数在下限X处的值的相反数.从公式的角度我能理解.也就是该书在这一段话上的证明.但是从意义或几何的角度怎么理解呢?比如路程和时间（当然不一定要这个例子）.您看这么好解释,
又来麻烦您了,这次想问一下关于积分上限函数的问题.对定积分求导等于被积函数,最早我是用速度和路程的那个例子从几何意义上理解的.（速度函数的定积分是路程,对该积分求导又是某一X
首先,定积分是一个定值,不定积分是一个函数集合,对定积分求导等于0,对不定积分进行积分变量求导才等于被积函数； 其次,应该是变下限积分--没有“积分下限函数”之说--关于积分变量(不是关于下限X)的导数等于被积函数在下限X处的值的相反数.现在,设被积函数为f(t),积分变量为t,变下限为x,则此处导数为-f(x)； 再次,导数的含义是因变量相对自变量的变化率,以变上限积分为例,以位移、时间和速度为例,因变量位移在某一时刻t的关于自变量时间t的变化率即单位时间位移的增量,其实就是瞬时速度v(t).变下限积分因积出的位移是负的,得出的速度自然是负的； 总之,欣赏你追求科学的问到底的精神,但建议你不必过于纠结其几何、物理意义的彻底说明,能理解可应用就足够了,与其此时困惑于此小节踟蹰不前,不如多多接触相关概念理论深入感悟数学各个方面,会当临绝顶,一览众山小,高度变了,角度自然就变了,问题终将迎刃而解.
我用粗黑的中括号【a，b】表示积分限，前面的数a是下限，后面的数b是上限。如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分上限确定的函数Ф(x)=【a，x】∫f(t)dt在区间[a，b]上存在导数，并且Ф'(x)=f(x)。由此得到定积分的计算公式：如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a，b]上的一个原函数，则【a，b】∫f(x)dx=F(b)-F(a).这些你已经很清楚了。
那么由积分下...
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我用粗黑的中括号【a，b】表示积分限，前面的数a是下限，后面的数b是上限。如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分上限确定的函数Ф(x)=【a，x】∫f(t)dt在区间[a，b]上存在导数，并且Ф'(x)=f(x)。由此得到定积分的计算公式：如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a，b]上的一个原函数，则【a，b】∫f(x)dx=F(b)-F(a).这些你已经很清楚了。
那么由积分下限确定的函数Ф(x)=【x，a】∫f(t)dt的导数Ф'(x)等于什么？按积分运算规则：上下限颠倒积分要改变符号,故Ф(x)=【x，a】∫f(t)dt=-【a，x】∫f(t)dt，于是Ф'(x)=-f(x).
如果被积函数是v(t)，v是质点运动的速度。那么S=【a，x】∫v(t)dt就是质点从时刻a到时刻x所
走过的路程。其导数dS/dx=v(x)；而S=【x，a】∫v(t)dt就是质点从时刻x到时刻a所走过的路程。其导数dS/dx=-v(x)；负号告诉我们：质点在往回走，其运动速度与原来的方向相反，故取负值。
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