作业帮线性代数习题求助1、A、B、AB-I 、为同阶非退化阵,证明：（1）A-B^-1 为非退化阵（2）（A-B^-1）^-1 -A^-1 为退化阵,并用已知矩阵或其逆阵表示该矩阵之逆阵
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 22:15:18
线性代数习题求助1、A、B、AB-I 、为同阶非退化阵,证明：（1）A-B^-1 为非退化阵（2）（A-B^-1）^-1 -A^-1 为退化阵,并用已知矩阵或其逆阵表示该矩阵之逆阵
线性代数习题求助
1、A、B、AB-I 、为同阶非退化阵,证明：
（1）A-B^-1 为非退化阵
（2）（A-B^-1）^-1 -A^-1 为退化阵,并用已知矩阵或其逆阵表示该矩阵之逆阵
线性代数习题求助1、A、B、AB-I 、为同阶非退化阵,证明：（1）A-B^-1 为非退化阵（2）（A-B^-1）^-1 -A^-1 为退化阵,并用已知矩阵或其逆阵表示该矩阵之逆阵
第二小问,貌似丢了一个非字：（A-B^-1）^-1 -A^-1 为“非”退化阵,
证明：
（1）因为 可逆阵 AB- I =AB - B逆 B=（A-B逆）B
所以A-B^-1 =（AB- I）B逆,A-B^-1 可以表成两个可逆阵（AB- I）和B逆 的乘积,从而是可逆的.
（2）（A-B^-1）^-1 -A^-1
=[（AB- I）B逆]^-1 - A^-1
=B (AB- I)^-1 - A^-1
=B (AB- I)^-1 - A^-1 I
=B (AB- I)^-1 - A^-1 (AB- I) (AB- I)^-1
=[B - A^-1 (AB- I) ] (AB- I)^-1
=[B - A^-1 AB + A^-1] (AB- I)^-1
=[B - B+ A^-1 ] (AB- I)^-1
=A^-1 (AB- I)^-1
=[(AB-I)A]^-1
这是 可逆矩阵,因为它是可逆阵A^-1 和(AB- I)^-1的乘积.
线性代数习题求助1、A、B、AB-I 、为同阶非退化阵,证明：（1）A-B^-1 为非退化阵（2）（A-B^-1）^-1 -A^-1 为退化阵,并用已知矩阵或其逆阵表示该矩阵之逆阵
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