已知集合A={a1,a2,a3,……an}求集合A的所有子集的元素之和我知道一个公式:(a1+a2+a3……+an)*[2^(n-1)]请问怎么来的?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 13:40:12
已知集合A={a1,a2,a3,……an}求集合A的所有子集的元素之和我知道一个公式:(a1+a2+a3……+an)*[2^(n-1)]请问怎么来的?
已知集合A={a1,a2,a3,……an}求集合A的所有子集的元素之和
我知道一个公式:(a1+a2+a3……+an)*[2^(n-1)]
请问怎么来的?
已知集合A={a1,a2,a3,……an}求集合A的所有子集的元素之和我知道一个公式:(a1+a2+a3……+an)*[2^(n-1)]请问怎么来的?
可以首先分析每个元素在自己中的情况,以a1为例子.
它出现的子集可以是{a1}{a1,a2}{a1,a2……an}
所以 a1在【1个元素】的子集里出现了C(0)/(n-1)次
在【2个元素】的子集里出现了C(1)/(n-1)次
……
在【n个元素】的子集里出现了C(n-1)/(n-1)次
所以关于a1的和是a1[C(0)/(n-1)+C(1)/(n-1)+……C(n-1)/(n-1)]
其它的元素也同理,关于a2的和a2[C(0)/(n-1)+C(1)/(n-1)+……C(n-1)/(n-1)]
……
关于an的和an[C(0)/(n-1)+C(1)/(n-1)+……C(n-1)/(n-1)]
根据二项式定理:[C(0)/(n-1)+C(1)/(n-1)+……C(n-1)/(n-1)]=2^(n-1)
那么把所有式子叠加,
集合A的所有子集的元素之和
S=(a1+a2+……an)×2^(n-1)
A的子集共有2^n个,其中包括元素a1的子集有2^(n-1)个,再由对称性得到集合A所有子集的元素的和是(a1+……an)*2^(n-1)