如图,已知点P为平面ABC外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证：PB⊥AC.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 19:54:14

如图,已知点P为平面ABC外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证：PB⊥AC.
如图,已知点P为平面ABC外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证：PB⊥AC.

如图,已知点P为平面ABC外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证：PB⊥AC.
证明：过P作PO⊥平面ABC,垂足为O
所以PA在平面ABC的射影是AO,又PA⊥BC,根据三垂线定理的逆定理知,（在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直）AO⊥BC,所以AO是三角形ABC中BC边上的高.
同理可证：CO是三角形ABC中AB边上的高.所以O是三角形ABC的垂心,所以BO垂直AC,根据三垂线定理知（在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直）PB⊥AC.

请问三角形ABC没有任何条件了吗？

过P作PO⊥ABC于O，连接OA，OB，OC
PA⊥BC，PO⊥ABC，所以AO⊥BC，（BC垂直于斜线PA，所以BC垂直于射影AO）
PC⊥AB，PO⊥ABC，所以CO⊥AB，（AB垂直于斜线PC，所以AB垂直于射影CO）
所以O为三角形ABC的垂心，
于是BO⊥AC，又PO⊥ABC
故 PB⊥AC。

设o为点P在平面ABC内的投影，PO垂直于平面ABC。PC⊥AB，AB⊥PO，则AB⊥平面PCO。所以AB⊥CO，同理可证BC⊥AO，（CO，AO均为三角形ABC的高）则BO是ABC的高，AC⊥BO，又AC⊥PO，所以AC⊥平面POB，所以AC⊥PB。证讫。O(∩_∩)O

如图,已知点P为平面ABC外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证：PB⊥AC. 如图已知点P是直角三角形ABC所在平面外一点,AB为斜边且PA=PB=PC求证平面PAB⊥平面 如图,已知P为△ABC外一点,PO⊥平面ABC,垂足为O若PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,求P点到平面ABC的距离 如图,已知点P为△ABC所在平面外一点,点D,E,F分别在射线PA,PB,PC上,并且PD/PA=PE/PB=PF/PC.求证：平面DEF/ABC 已知点P为平面ABC外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证PB⊥AC 如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于H.求证： 1.已知在直角三角形ABC中,AB=3,AC=4∠BAC=60°,P是△ABC所在平面外一点,若PA⊥平面ABC,且PA=3,求点P到BC的距离.2.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C为圆O上的任意点（C与A,B不重合）.AE⊥PC,AF 如图,P为△ABC所在平面外一点,PB=BA,PC=CA.求证:PA⊥BC 如图,P是边长为a的正方形所在平面ABCD外一点,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E为AB上的点,是否存在点E使平面PCE⊥平面PCD? 如图,点P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,且PO⊥平面ABC于点O,则点O是△ABC的外心,内心,垂心,重心? 如图,P为三角形ABC所在平面外一点,PA垂直平面ABC,角ABC=90度,求证,BC垂直PB 已知P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心求证：PH⊥平面ABC（图为空间四边形P-ABC） 已知P为△ABC所在平面外一点,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求P点到平面ABC的距离 如图 p为三角形ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,角ABC=90度,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,求证:PC⊥平面AEF p为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于点H,求证1.H为△ABC的垂心2.△ABC为锐角三角形 如图,P是平面ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离 已知三角形ABC中,角ABC=90,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证平面PAC垂直平面ABC. 已知三角形ABC中,角ABC=90度,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC.求证：平面PAC垂直平面ABC.