作业帮如图正四面体ABCD,E为棱BC上的动点,则 异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为 _______．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 09:55:09
如图正四面体ABCD,E为棱BC上的动点,则 异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为 _______．
如图正四面体ABCD,E为棱BC上的动点,则 异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为 _______．
如图正四面体ABCD,E为棱BC上的动点,则 异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为 _______．
作EF//BD,交CD于F. 连接AF.
知AE =AF.
则角AEF即为BD与AE所成的角.
设BC=a, BE = x.
则AE^2 = a^2 + x^2 - 2* a* x*cos60度= a^2 + x^2 - ax. (余弦定理)
EF= EC = a-x.
在三角形AEF中用余弦定理:
cos角AEF= AE^2 +EF^2 -AF^2]/[2*AE*EF]= EF/[2*AE] = (1/2)*(a-x)/根号(a^2 +x^2 -ax)
= (1/2)根号{(a-x)^2/[(a-x)^2 +ax]}=(1/2)根号{1/[1+ax/(a-x)^2 ]}
容易证明:函数y= ax/(a-x)^2 在区间(0,a)单调增加.从而cos角AEF单调减少
作EF//BD,交CD于F. 连接AF.
知AE =AF.
则角AEF即为BD与AE所成的角.
设BC=a, BE = x.
则AE^2 = a^2 + x^2 - 2* a* x*cos60度= a^2 + x^2 - ax. (余弦定理)
EF= EC = a-x.
在三角形AEF中用余弦定理:
cos角AEF= AE^2 +EF^2 -AF^2]/[2*AE*EF]= EF/[2*AE] = (1/2)*(a-x)/根号(a^2 +x^2 -ax)
为分析,将其写为:
= (1/2)根号{(a-x)^2/[(a-x)^2 +ax]}=(1/2)根号{1/[1+ax/(a-x)^2 ]}
容易证明:函数y= ax/(a-x)^2 ,在区间(0, a), y' = a(a+x)/(a-x)^3 >0
在区间(0,a)单调增加.从而cos角AEF单调减少.
故知:cos角AEF取值范围为: [0, 1/2] (x=0,在B点最大, x-a 在C点最小)