作业帮基本不等式证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 09:24:53
基本不等式证明题
基本不等式证明题
基本不等式证明题
(1)依基本不等式得
a^3+1/a≥2√(a^3·1/a)＝2a,
b^3+1/b≥2√(b^3·1/b)＝2b,
c^3+1/c≥2√(c^3·1/c)＝2c.
三式相加,得
a^3+b^3+c^3+(1/a+1/b+1/c)≥2(a+b+c).
(2)3(1+a^2+a^4)≥(1+a+a^2)^2
↔a^4-a^3-a+1≥0
↔(a-1)^2(a^2+a+1)≥0
↔(a-1)^2[(a+1/2)^2+3/4]≥0.
此式显然成立,且以上每一步可逆,
故原不等式成立.
(3)本题证法灰常多,以下用基本不等式
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
≥(1/2)[(a+b)+(1/a+1/b)]^2
＝(1/2)[1+(a+b)/a+(a+b)/b]^2
＝(1/2)[3+(a/b+b/a)]^2
≥(1/2)[3+2√(a/b·b/a)]^2
＝25/2.
故原不等式得证.
