作业帮抛物线y=-x^2+1 在[0,1]内的一条切线,使它与坐标周和抛物线y=-x^2+1所围图形的面积最小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 11:44:02
抛物线y=-x^2+1 在[0,1]内的一条切线,使它与坐标周和抛物线y=-x^2+1所围图形的面积最小
抛物线y=-x^2+1 在[0,1]内的一条切线,使它与坐标周和抛物线y=-x^2+1所围图形的面积最小
抛物线y=-x^2+1 在[0,1]内的一条切线,使它与坐标周和抛物线y=-x^2+1所围图形的面积最小
是求切线方程吗?设切线方程为y=kx+b,切线与抛物线有且只有一个交点,而且这个交点的横坐标在[0,1]内.抛物线开口向下,作图能看出直线斜率k＜0〖k=0时,切线与x轴平行不相交,可认为S△AOB=∞,显然,这不是我们要求的东西.∴k＜0〗.
根据上述分析有：kx+b=-x²+1,即x²+kx+b-1=0,方程只有一个根,则需Δ=k²-4b+1=0,∴b=k²/4+1/4,切线与y轴交点A(0,b),切线方程可写作：y=kx+k²/4+1/4,其与x轴的交点B是y=0,x=-1/4k-k/4,切线、坐标轴、抛物线围成的面积是切线与坐标轴围成的Rt△的面积与抛物线和坐标轴围成的曲边三角形面积之差.抛物线方程是恒定的,也就是说曲边三角形的面积是一定的,只要保证Rt△AOB面积最小就可以了,其中O为坐标原点.
S△AOB=0.5×OA×OB=0.5(k²/4+1/4)(-1/4k-k/4)=-(1/8)(k²+1)(1/k+k)=-(1/8)(2k+k³+1/k)
S△AOB的最小值就是求2k+k³+1/k绝对值的最小值,k＜0,即是求该式的最大值：
∵(x-1/x)²=x²-2+1/x²≥0,a=x²≥0,可推导出a+1/a≥2；a=1时,a+1/a=2.
∴2k+k³+1/k=2k+2/k+[(k²)²-1]/k≤-2×2+0=-4,此时k=-1.
也就是说,当切线方程为y=-x+0.5的时候,切线、抛物线、坐标轴所围成的面积最小.