作业帮求椭圆16x＾2+9y＾2=144上的点到直线x+y=7的最短距离(要有过程)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 15:00:06
求椭圆16x＾2+9y＾2=144上的点到直线x+y=7的最短距离(要有过程)
求椭圆16x＾2+9y＾2=144上的点到直线x+y=7的最短距离(要有过程)
求椭圆16x＾2+9y＾2=144上的点到直线x+y=7的最短距离(要有过程)
椭圆方程化为x²/9+y²/16=1,设x=3cosθ,y=4sinθ,是椭圆上的点,则点（3cosθ,4sinθ）到直线x+y=7的距离为
d=|3cosθ+4sinθ-7|/√（1²+1²）
＝|5sin(θ+arctan(3/4))-7|/√2
当θ=π/2-arctan(3/4)时,5sin(θ+arctan(3/4))＝5sin(π/2)=5
|5sin(θ+arctan(3/4))-7|/√2取最小值√2
所以最短距离为√2.
知识点：
1.椭圆参数化：
x^2/a^2+y^2/b^2=1化为：
x=acosa
y=bsina
2。点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0距离公式：
d=|Ax0+By0+C|/根号(A^2+B^2)
修改：
将椭圆化为标准方程，为：
x^2/9+y^2/16=1
依题，设为参数式方程，即：
x=3co...
全部展开
知识点：
1.椭圆参数化：
x^2/a^2+y^2/b^2=1化为：
x=acosa
y=bsina
2。点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0距离公式：
d=|Ax0+By0+C|/根号(A^2+B^2)
修改：
将椭圆化为标准方程，为：
x^2/9+y^2/16=1
依题，设为参数式方程，即：
x=3cosa
y=4sina
所以椭圆上任意一点到直线距离都可表示为：
d=|3cosa+4sina-7|/根号（1+1）
注：3cosa+4sina=根号（3^2+4^2)sin(a+x)
=|5sin(a+x)-7|/根号2 ---tanx=3/4
因为5sin(a+x)取值范围是：-5到5
所以，取5时最小，为根号2
此时，sin(a+x)=1
当然也可以直接算，但是这样简单！
收起
椭圆上的点的参数方程是：
x=3sinA
y=4cosA
距离公式为
d=|3sinA+4cosA-7|/根号2
求|3sinA+4cosA-7|的最小值了
由于这个是个绝对值的，所以3sinA+4cosA能尽量靠近7的话，结果就会最小
但是显然，这个3sinA+4cosA的取值范围是[-5,5],(你可以用asinA+bcosA这个形式的求...
全部展开
椭圆上的点的参数方程是：
x=3sinA
y=4cosA
距离公式为
d=|3sinA+4cosA-7|/根号2
求|3sinA+4cosA-7|的最小值了
由于这个是个绝对值的，所以3sinA+4cosA能尽量靠近7的话，结果就会最小
但是显然，这个3sinA+4cosA的取值范围是[-5,5],(你可以用asinA+bcosA这个形式的求最值公式计算）
所以，3sinA+4cosA=5的时候是最靠近7的
于是最小值是|5-7|/根号2=根号2
顺便说说最大值，就是|-5-7|/根号2=6*根号2
收起
到直线最短距离的点A处的切线与直线斜率相同，又直线斜率为－1，可设A为(a,b),对椭圆方程求导得：2x/9+2y*y'/16=0,则有y'=-16x/9y=-1,
于是有-16a/9b=-1, 代入椭圆方程可求出a,b a=9/5,b=16/9,
再点到直线的距离公式得：d=根号2
其实椭圆可以转化成一个圆来计算。
令x=3X,y=4Y 在XoY坐标系下，椭圆16x＾2+9y＾2=144转化成圆X^2+Y^2=1,直线方程x+y=7转化成3X+4Y=7。则所求最值问题转化成圆上线的一点到直最短的距离。圆上的一点到直最短的距离 d=[|0+0-7|/(3^2+4^2)^1/2]-1=2/5.
因此，所求的最短距离为<...
全部展开
其实椭圆可以转化成一个圆来计算。
令x=3X,y=4Y 在XoY坐标系下，椭圆16x＾2+9y＾2=144转化成圆X^2+Y^2=1,直线方程x+y=7转化成3X+4Y=7。则所求最值问题转化成圆上线的一点到直最短的距离。圆上的一点到直最短的距离 d=[|0+0-7|/(3^2+4^2)^1/2]-1=2/5.
因此，所求的最短距离为
2/5*{[（3^2+4^2）^1/2]/[(1^2+1^2)^1/2]}=2^1/2
而且这种方法可以解决椭圆与直线相交，相离，相切的问题，而且很快的！
收起
√2。
最很简单的方法:
椭园16x＾2+9y＾2=144上的点到直线x+y=7的最短和最远距离,都是平行于直线的椭园上点的切线L.
设L:y=-x+b
16x＾2+9y＾2=144
16x＾2+9(-x+b)＾2=144
25x^2-18bx+9b^2-144=0
上方程的判别式=0,即
(-18b)^2-4*25*(9b^2-144)=0
全部展开
最很简单的方法:
椭园16x＾2+9y＾2=144上的点到直线x+y=7的最短和最远距离,都是平行于直线的椭园上点的切线L.
设L:y=-x+b
16x＾2+9y＾2=144
16x＾2+9(-x+b)＾2=144
25x^2-18bx+9b^2-144=0
上方程的判别式=0,即
(-18b)^2-4*25*(9b^2-144)=0
b^2=25
椭圆上点与直线距离最短的切线:y=-x+5,最长距离的切线:y=-x-5
直线的斜率=-1,直线y=-x+5与直线x+y=7在Y轴上的截距=2
所以椭圆16x＾2+9y＾2=144上的点到直线x+y=7的最短距离=√2
或者随便找出两直线上的任何一点,再用点到直线的距离公式即可求解.
如y=-x+5,x=0,y=5
(0,5)到直线x+y=7的距离=|5-7|/√2=√2
收起