计算二重积分∫∫y/xdxdy,D为y=2x,y=x,x=2,x=4所围成的区域

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/14 05:29:24

计算二重积分∫∫y/xdxdy,D为y=2x,y=x,x=2,x=4所围成的区域
计算二重积分∫∫y/xdxdy,D为y=2x,y=x,x=2,x=4所围成的区域

计算二重积分∫∫y/xdxdy,D为y=2x,y=x,x=2,x=4所围成的区域
所谓区域是2

∫(2x,4x)(y/x)dy=(1/2)(x,2x)y^2/x=3x、2。
∫∫y/xdxdy=(3/2)∫(2,4)xdx=(2,4)(3/4)x^2=12-3=9。

换元
令u=y/x,v=x

x=v,y=uv
ə(x,y)/ə(u,v)
= 0 1
v u

||ə(x,y)/ə(u,v)||=v

∫∫y/xdxdy
=∫(2→4)∫(1→2)uvdudv
=∫(1→2)vdv∫(2→4)udu
=0.5v²(1→2)0.5u²(2→4)
=1.5×6
=9

∫∫y/xdxdy
=∫(2,4)dx∫(x,2x) y/x dy
=∫(2,4) [y²/(2x)] | y=(x,2x) dx
=∫(2,4) [(2x)²-x²]/(2x) dx
=∫(2,4) 3x/2 dx
=(3x²/4)|x=(2,4)
=9