作业帮定积分证明题……求大神解题……
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 11:17:11
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下面 ∫ 均是a到b积分
记h(b)=[∫f(x)dx][∫g(x)dx]-(b-a)∫f(x)g(x)dx
则h'(b)=f(b)∫g(x)dx+g(b)∫f(x)dx-∫f(x)g(x)dx-(b-a)f(b)g(b)
=∫[f(b)g(x)-f(x)g(x)+g(b)f(x)-f(b)g(b)]dx
=∫[g(x)(f(b)-f(x))+g(b)(f(x)-f(b))]dx
=∫[g(x)-g(b)][f(b)-f(x)]dx
∵f,g在[a,b]单增,∴[g(x)-g(b)][f(b)-f(x)]≤0,x∈[a,b]
∴h'(b)=∫[g(x)-g(b)][f(b)-f(x)]dx≤0
即h(b)是个关于自变量b的单减函数,∴h(b)≤h(a)=0
即[∫f(x)dx][∫g(x)dx]≤(b-a)∫f(x)g(x)dx