定积分∫上限1下限 -1 (x^3cosx)dx

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 03:26:33

定积分∫上限1下限 -1 (x^3cosx)dx
定积分∫上限1下限 -1 (x^3cosx)dx

定积分∫上限1下限 -1 (x^3cosx)dx
=0
 
奇函数在对称区间上的积分=0
 
也可以连续用分部积分法计算
 

1234244565463456345654

被积分函数 (x³ cosx) 是关于x的奇函数,而积分限是关于x的对称区域,所以
积分结果为0
可以简单证明如下
JF= JF1 + JF2 = ∫上限1 下限 0 (x^3cosx)dx + ∫上限0 下限 -1 (x^3cosx)dx
其中:JF2 =∫上限0 下限 -1 (x^3cosx)dx
令x = - t 则dx = +t...

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被积分函数 (x³ cosx) 是关于x的奇函数,而积分限是关于x的对称区域,所以
积分结果为0
可以简单证明如下
JF= JF1 + JF2 = ∫上限1 下限 0 (x^3cosx)dx + ∫上限0 下限 -1 (x^3cosx)dx
其中:JF2 =∫上限0 下限 -1 (x^3cosx)dx
令x = - t 则dx = +t 被积函数f(x) = (x³ cosx) = - (t³ cost)
当 x =-1时 t=+1 ;当 x =0时 t=+0
所以
JF2 =∫上限0 下限 +1 -(t³cost) d(-t) =∫上限0 下限 +1 (t³cost) dt
注意到JF2的上下限 与JF1 = ∫上限1 下限 0 (x^3cosx)dx 正好相反 二者求和的时候抵消
所以结果确实为零

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