作业帮过椭圆x^2/m+y^2/(m-1)=1(2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 08:10:45
过椭圆x^2/m+y^2/(m-1)=1(2
过椭圆x^2/m+y^2/(m-1)=1(2
过椭圆x^2/m+y^2/(m-1)=1(2
显然椭圆焦点在x轴上
易知半焦距c=√[m-(m-1)]=1
则左焦点坐标为(-1,0)
由点斜式易知过左焦点且斜率为1的直线方程为y=x+1
令直线y=x+1与椭圆交B(x1,y1)、C(x2,y2)
根据直线的特征易知B、C分布于x轴的上下两侧和左焦点的左右两侧
不妨令B(x1,y1)为x轴下方、左焦点左侧的交点
显然x1√5
显然直线x=±a在椭圆之外
由此可知A为直线y=x+1与x=-a的交点,D为直线y=x+1与x=a的交点
联立两组直线方程易知A(-a,1-a),D(a,1+a)
过A、B、C、D分别向x轴引垂线交于A1、B1、C1、D1
易知A1(-a,0)、B1(x1,0)、C1(x2,0)、D1(a,0)
且-a
(1) m>m-1，长轴在x轴上，c=√[m-(m-1)]=1
∵2≤m≤5，a≥3，∴√m
所以直线x=±a分别在椭圆与x轴交点的左右两侧
令左焦点为F，则
|AB|=|AF|-|BF|，|CD|=|FD|-|FC|
利用左焦点的极坐标方程rho=p/(1-e*cost)
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(1) m>m-1，长轴在x轴上，c=√[m-(m-1)]=1
∵2≤m≤5，a≥3，∴√m
所以直线x=±a分别在椭圆与x轴交点的左右两侧
令左焦点为F，则
|AB|=|AF|-|BF|，|CD|=|FD|-|FC|
利用左焦点的极坐标方程rho=p/(1-e*cost)
其中p=(m-1)/√m，e=c/√m=1/√m
∵直线斜率为1，∴直线位于一、二、三象限，且与x轴所夹锐角为45°
当t=45°时
|FD|＝(a+c)/cos45°=√2*(a+1)
|FC|=[(m-1)/√m]/[1-1/√m*cos45°]=(m-1)/(√m-√2/2)
∴|CD|=√2*(a+1)-(m-1)/(√m-√2/2)
当t=225°时
|AF|＝(a-c)/cos45°=√2*(a-1)
|BF|=[(m-1)/√m]/[1-1/√m*cos225°]=(m-1)/(√m+√2/2)
∴|AB|=√2*(a-1)-(m-1)/(√m+√2/2)
f(m)=||AB|-|CD||=|√2*(m-1)/(m-1/2)-2√2|
=√2*|-m/(m-1/2)|
=√2*[1+1/(2*m-1)]
(2)∵2≤m≤5
当m=5时,f(m)最小值为f(5)=(10*√2)/9
当m=2时,f(m)最大值为f(2)=(4*√2)/3
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