作业帮过点M（2,1）,作椭圆X^2+4Y^2=16的弦AB,若AM=2BM,求AB的直线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 21:10:48
过点M（2,1）,作椭圆X^2+4Y^2=16的弦AB,若AM=2BM,求AB的直线方程
过点M（2,1）,作椭圆X^2+4Y^2=16的弦AB,若AM=2BM,求AB的直线方程
过点M（2,1）,作椭圆X^2+4Y^2=16的弦AB,若AM=2BM,求AB的直线方程
∵AM = 2BM
设A(x1,y1),B(x2,y2) 且M(2,1)
根据定比分点坐标公式,可有以下的的关系:
[ (x1+2*x2)/3,(y1+2*y2)/3 ] = [2,1]
可得(x1+2*x2)/3 = 2,(y1+2*y2)/3 = 1
化简:x1 = 6 - 2*x2,y1 = 3 - 2*y2
且A,B在椭圆上,∴它们的坐标满足方程:
得:x1² + 4*y1² = 16 (1)
x2² + 4*y2² = 16 (2)
由x1 = 6 - 2*x2,y1 = 3 - 2*y2 代入(1)式:
(6 - 2*x2)² + 4*(3 - 2*y2)² = 16
化简:x2² + 4*y2² - 6*x1 - 12*y2 + 14 = 0 (∵ x2² + 4*y2² = 16)
16 - 6*x1 - 12*y2 + 14 = 0
x2 + 2*y2 - 5 = 0
移项:x2 = 5 - 2*y2 (3)
由(3)代入(2)式:(5 - 2*y2)² + 4*y2² = 16
化简:8*y2² - 20*y2 + 9 = 0
得y2 = (5±√7)/4
代入(3)代,得x2 = [5 - (±√7)]/2
根据点B,M的坐标,可得AB的直线方程:
(y - 1)/(x - 2) = {[5 ± √7)]/4 - 1} / {[5 - (± √7))]/2 - 2}
化简:(1 + √7)x - (2 - 2√7)y - 4√7 = 0 或 (1 - √7)x - (2 + 2√7)y + 4√7 = 0
(附注:答案已用电脑验证,正确无误.)
注意:1.虽然过程蛮多,但每一部分的计算部分是可以应付到的
2.也可以用楼上的方法,但应用韦达定理时,平方的运用颇复杂的
3.也可以构造相似三角形,利用它的性质比求关系,但方程较多.
椭圆方程为X^2/16+Y^2/4=1
设AB所在直线方程为y=kx+b 因为直线过（2,1）
所以直线方程为y=k(x-2)=1
然后联立它和椭圆方程 用韦达定理 解出x1+x2 X1*X2
再利用AM=2BM
即可解出
（过程估计会很麻烦 楼主要仔细啊)