作业帮sin（α+β）=0 求证tan（2α+β）+tanβ=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 02:10:35
sin（α+β）=0 求证tan（2α+β）+tanβ=0
sin（α+β）=0 求证tan（2α+β）+tanβ=0
sin（α+β）=0 求证tan（2α+β）+tanβ=0
sin（α+β）=0
α+β=kπ
β=kπ-α
tanβ=tan(kπ-α)=-tanα
tan(2α+β)
=tan(α+kπ)
=tanα
所以tan(2α+β)+tanβ=0
sin（α+β）=0
a+b=k*pi;
2a+2b=2kpi;
2a+b=2kpi-b
所以 tan(2a+b)=tan(2kpi-b)=-tanb
因为sin（α+β）=0
所以tan（α+β）=0
tan(2α+β)=tan(α+β+α)=(tanα+0)/(1-0)=tanα
tanβ=tan(α+β-α)=(0-tanα)/(1+0)=-tanα
所以 tan（2α+β）+tanβ=0
tan(2α+β)+tanβ=sin(2α+β) / cos(2α+β)+sinβ/cosβ
=[sin(2α+β)·cosβ+cos(2α+β)·sinβ] / [cos(2α+β)·cosβ]
=sin[(2α+β)+β] / [cos(2α+β)·cosβ]
...
全部展开
tan(2α+β)+tanβ=sin(2α+β) / cos(2α+β)+sinβ/cosβ
=[sin(2α+β)·cosβ+cos(2α+β)·sinβ] / [cos(2α+β)·cosβ]
=sin[(2α+β)+β] / [cos(2α+β)·cosβ]
=sin[2(α+β)] / [cos(2α+β)·cosβ]
=2sin(α+β)cos(α+β) / [cos(2α+β)·cosβ]
=0
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
收起
∵sin（α+β）=0
∴tan（α+β）=0=(tanα+tanβ)/(1-tanα×tanβ)
,∴tanα+tanβ=0
tan（2α+β）+tanβ
= tan[（α+β）+α]+tanβ
=[tan（α+β）+tanα]/[1-tan（α+β）tanα]+tanβ
=tanα+tanβ=0