设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/17 06:00:46

设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1

设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
由 abc=1,可知a,b,c中可以有两个是负数,此时结论显而易见,以下证明三个均为正数时的情况用反证法
假设2a-(1/b)=2a-ac>1,2b-(1/c)=2b-ab>1,2c-(1/a)=2c-bc>1
就2a-ac>1则:1-2a+ac<0,现在考虑一个抛物线:y=x²-2ax+ac
因为x=1代入抛物线式子中有y=1-2a+ac<0
所以该抛物线经过x轴下方一点,所以开口向上抛物线与x轴必有两个不同交点,△>0
所以4a²-4ac>0 ,
a²>ac
同理b²>ab
c²>bc
三个式子相乘:
a²b²c²>a²b²c²
即1>1
不成立,矛盾,所以假设错误.
因此2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
(简单题只能用初等方法解决,高等方法偏导听不懂,也解决不了)

反证法:假设这三个数都小于等于1
则有
2a-(1/b)+2b-(1/c)+2c-(1/a)<=3
abc=1
2a-(1/b)+2b-ab+2/(ab)-(1/a)<=3
设f(a,b)=2a-(1/b)+2b-ab+2/(ab)-(1/a)
求二元偏导:f(a)=2-b-2/(a^2b)+1/a^2,f(b)=1/b^2+2-a-2/(ab^2)...

全部展开

反证法:假设这三个数都小于等于1
则有
2a-(1/b)+2b-(1/c)+2c-(1/a)<=3
abc=1
2a-(1/b)+2b-ab+2/(ab)-(1/a)<=3
设f(a,b)=2a-(1/b)+2b-ab+2/(ab)-(1/a)
求二元偏导:f(a)=2-b-2/(a^2b)+1/a^2,f(b)=1/b^2+2-a-2/(ab^2)
令f(a)=0,f(b)=0,解出a,b的值,代入f(a,b)证明此值大于三即可
说简单点就是:证明f(a,b)的最小值大于3即可

收起

设实数a,b,c满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9.证明abc+1>3a 设a.b.c为实数,满足a+b+c=0,abc=1,证明;a.b.c.中有一个大于3/2. 设a,b,c是正实数,且(a+1)(b+1)(c+1)=8,证明abc≤1 设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1 设正实数a,b,c,满足a≤b≤c,且a^(1/2)+b^(1/2)+c^(1/2)=9证明:abc+1>3a对不起,题抄错了应该是:设正实数a,满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c^2=9证明:abc+1>3a 设实数a,b,c满足a2+b2+c2=1 证明-1/2 设a,b,c为正实数,且abc=1,证明:见图片 设a,b,c为正实数,并且满足abc=1证明:(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤1 设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2 设实数abc 满足a+b+c=1 则abc中至少有一个数不小于多少 正实数a,b,c满足abc=1,证明(a+b)(b+c)(a+c)≥4(a+b+c-1) a、b、c为正实数且满足abc=1,是证明:1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)≥3/2(用柯西不等式) 已知a,b,c是正实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a).证明:1/a+1/b=1/c 设实数,abc满足a+b+c=0 ab+ac+bc=-2/1,求a方+b方+c方的值 设a,b,c,是△ABC的三条边,方程(b+c)x2+√2(a-c)x-3/4(a-c)=0有两个相等的实数根,设a,b,c,是△ABC的三条边,方程(b+c)x2+√2(a-c)x-3/4(a-c)=0有两个相等的实数根,且满足a-5b+2c=0.(1)求证三角形是等腰三角 关于无理数(实数)的问题设a是一个无理数,且a、b满足ab+a-b=1,则b的值为多少?并证明. 一道数学的代数证明:设a、b、c皆是大于0的实数……设a、b、c皆是大于0的实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a),求证:a分之一+b分之一=c分之一. 若实数a、b、c满足a+b+c=o,abc=1.证明a,b,c中至少有一个数不小于3分之2.