在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示点A的坐标为（1,0）,点D的坐标为（0,2）．延长CB交x轴于点A1,作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2,作第3个正方形A2B2C2C1（1）求正方形ABCD面

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 06:37:33

在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示点A的坐标为（1,0）,点D的坐标为（0,2）．延长CB交x轴于点A1,作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2,作第3个正方形A2B2C2C1（1）求正方形ABCD面
在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示
点A的坐标为（1,0）,点D的坐标为（0,2）．延长CB交x轴于点A1,作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2,作第3个正方形A2B2C2C1

（1）求正方形ABCD面积

（2）求正方形A1B1C1D1面积

在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示点A的坐标为（1,0）,点D的坐标为（0,2）．延长CB交x轴于点A1,作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2,作第3个正方形A2B2C2C1（1）求正方形ABCD面
考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质．
专题：规律型．
分析：先根据两对对应角相等的三角形相似,证明△AOD和△A1BA相似,根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B,所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的
3
2
,以此类推,后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的
3
2
,然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系,从而求出第2011个正方形的面积．
如图,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC,
∴∠ABA1=90°,∠DAO+∠BAA1=90°,
又∵是坐标平面内,∴∠DAO+∠ADO=90°,
∴∠ADO=∠BAA1,
在△AOD和A1BA中,
∠AOD＝∠ABA1＝90°
∠ADO＝∠BAA1
,
∴△AOD∽△A1BA,
∴
OD
AO
=
AB
A1B
=2,
∴BC=2A1B,
∴A1C=
3
2
BC,
以此类推A2C1=
3
2
A1C,A3C2=
3
2
A2C1,…,
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的
3
2
倍,
∴第2011个正方形的边长为（
3
2
）2010BC,
∵A的坐标为（1,0）,D点坐标为（0,2）,
∴BC=AD=
12+22
=
5
,
∴第2011个正方形的面积为[（
3
2
）2010BC]2=5（
3
2
）4020=5（
9
4
）2010．