作业帮用均值不等式解题n是正整数,求y=(sinx)^2n+(cosx)^2n的值域
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 07:36:06
用均值不等式解题n是正整数,求y=(sinx)^2n+(cosx)^2n的值域
用均值不等式解题
n是正整数,求y=(sinx)^2n+(cosx)^2n的值域
用均值不等式解题n是正整数,求y=(sinx)^2n+(cosx)^2n的值域
用均值不等式只能求出最小值,但无法求最大值,
（最大值为1,
最小值过程如下：
最小值为1/2^(n-1)
=(sinx)^2n+(cosx)^2n>=2*sinx*cosx=sin2x
所以y∈[-1,1]
那一道题啊
sin²x+cos²x=1
设 sin²x=1/2+t, cos²x=1/2-t, 则t∈[-1/2,1/2]
∴ y=(sinx)^2n+(cosx)^2n
=(1/2+t)^n+(1/2-t)^n
利用二项式定理展开
=2*[(1/2)^n+C(n,2)(1/1)^(n-2...
全部展开
sin²x+cos²x=1
设 sin²x=1/2+t, cos²x=1/2-t, 则t∈[-1/2,1/2]
∴ y=(sinx)^2n+(cosx)^2n
=(1/2+t)^n+(1/2-t)^n
利用二项式定理展开
=2*[(1/2)^n+C(n,2)(1/1)^(n-2)*t²+........]
≥2*(1/2)^n
=(1/2)^(n-1)
又 0≤sin²x≤1,0≤cos²x≤1
则 (sin²x)^n≤sin²x，(cos²x)^n≤cos²x
∴ (sinx)^2n+(cosx)^2n≤sin²x+cos²x=1
∴ 值域是[(1/2)^(n-1),1]
收起
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