数学题正项级数{ }单调递减,且 发散,问 是否收敛完整题目在图片中
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/23 15:27:53
数学题正项级数{ }单调递减,且 发散,问 是否收敛完整题目在图片中
数学题正项级数{ }单调递减,且 发散,问 是否收敛
完整题目在图片中
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an单调递减且有下界0,由“数列单调有界必收敛”和级数的性质可知an有极限。
设lim(n→∞)an=x
易知x >= 0
当x=0时
因为an > a(n+1) ,lim(n→∞)an=0
所以∑(∞,n=1)(-1)^nan收敛,与题目矛盾
所以x > 0
所以an >= x > 0
0< 1/an =<1/x
0< 1/...
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an单调递减且有下界0,由“数列单调有界必收敛”和级数的性质可知an有极限。
设lim(n→∞)an=x
易知x >= 0
当x=0时
因为an > a(n+1) ,lim(n→∞)an=0
所以∑(∞,n=1)(-1)^nan收敛,与题目矛盾
所以x > 0
所以an >= x > 0
0< 1/an =<1/x
0< 1/(an+1) =< 1/(x+1)
0< [1/(an+1)]^n =< [1/(x+1)]^n
因为 x > 0
x+1 > 1
1/(x+1) < 1
所以0 < 1/(x+1) < 1
所以[1/(x+1)]^n单调递减
因为[1/(x+1)]^n单调递减,
又因为0 < [1/(x+1)]^n < 1即数列有界
由“数列单调有界必收敛”可知∑(∞,n=1)[1/(x+1)]^n收敛
因为0< [1/(an+1)]^n =< [1/(x+1)]^n
由比较判别法可知∑(∞,n=1)[1/(an+1)]^n收敛
所以∑(∞,n=1)[1/(an+1)]^n收敛
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