如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F． （1）求证：EF+ AC=AB； （2）如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F．（1）求证：EF+ AC=AB；（2）

如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F． （1）求证：EF+ AC=AB； （2）如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F．（1）求证：EF+ AC=AB；（2）
如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F． （1）求证：EF+ AC=AB； （2）
如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F．
（1）求证：EF+ AC=AB；
（2）点C1从点C出发,沿着线段CB向点B运动（不与点B重合）,同时点A1从点A出发,沿着BA的延长线运动,点C1与A1的运动速度相同,当动点C1停止运动时,另一动点A1也随之停止运动．如图2,A1F1平分∠BA1C1,交BD于点F1,过点F1作F1E1⊥A1C1,垂足为E1,请猜想E1F1,A1C1与AB三者之间的数量关系,并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下,当A1E1=3,C1E1=2时,求BD的长．

如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F． （1）求证：EF+ AC=AB； （2）如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F．（1）求证：EF+ AC=AB；（2）
证明：（1）如图1,过点F作FM⊥AB于点M,在正方形ABCD中,AC⊥BD于点E．
∴AE= AC,∠ABD=∠CBD=45°,
∵AF平分∠BAC,
∴EF=MF,
又∵AF=AF,
∴Rt△AMF≌Rt△AEF,
∴AE=AM,
∵∠MFB=∠ABF=45°,
∴MF=MB,MB=EF,
∴EF+ AC=MB+AE=MB+AM=AB．
（2）E1F1, A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+ A1C1=AB
证明：如图2,连接F1C1,过点F1作F1P⊥A1B于点P,F1Q⊥BC于点Q,
∵A1F1平分∠BA1C1,∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1,∴E1F1=PF1=QF1,
又∵A1F1=A1F1,∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1,
∴A1E1=A1P,
同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1,
∴C1Q=C1E1,
由题意：A1A=C1C,
∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB,
∵PB=PF1=QF1=QB,
∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1,
即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1,
∴E1F1+ A1C1=AB．
（3）设PB=x,则QB=x,
∵A1E1=3,QC1=C1E1=2,
Rt△A1BC1中,A1B2+BC12=A1C12,
即（3+x）2+（2+x）2=52,
∴x1=1,x2=-6（舍去）,
∴PB=1,
∴E1F1=1,
又∵A1C1=5,
由（2）的结论：E1F1+ A1C1=AB,
答案自己算咯

（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E．

　　∴AE=

　　1

　　2

　　AC，∠ABD=∠CBD=45°，

　　∵AF平分∠BAC，

　　∴EF=MF，

　　又∵AF=AF，

　　∴Rt△AMF≌Rt△AEF，

　　∴AE=AM，

　　∵∠MFB=∠ABF=45°，

　　∴MF=MB，MB=EF，

　　∴EF+

　　1

　　2

　　AC=MB+AE=MB+AM=AB．

　　（2）E1F1，

　　1

　　2

　　A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+

　　1

　　2

　　A1C1=AB

　　证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，

　　∵A1F1平分∠BA1C1，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，

　　又∵A1F1=A1F1，∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，

　　∴A1E1=A1P，

　　同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，

　　∴C1Q=C1E1，

　　由题意：A1A=C1C，

　　∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB，

　　∵PB=PF1=QF1=QB，

　　∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，

　　即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，

　　∴E1F1+

　　1

　　2

　　A1C1=AB．

　　（3）设PB=x，则QB=x，

　　∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，

　　Rt△A1BC1中，A1B2+BC12=A1C12，

　　即（3+x）2+（2+x）2=52，

　　∴x1=1，x2=-6（舍去），

　　∴PB=1，

　　∴E1F1=1，

　　又∵A1C1=5，

　　由（2）的结论：E1F1+

　　1

　　2

　　A1C1=AB，

　　∴AB=

　　7

　　2

　　，

　　∴BD=

　　7

　　2

　　2

　　．