在周长相等的平面图形中,面积最大的是圆.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 07:49:53

在周长相等的平面图形中,面积最大的是圆.
在周长相等的平面图形中,面积最大的是圆.

在周长相等的平面图形中,面积最大的是圆.
当边长为一定值时,圆的面积是最大.
首先证明在边数相等的情况下正多边形的面积最大；然后证明边数越大面积越大,而圆则是可以看做边数为无穷多个的正多边形.
第一步,用具体数字来证明：假设三角形、正方形、圆在周长均为12 则由
1.三角形（拿等边三角形为例）：3X=12,则边长为4,高为2倍根号3,面积为4倍根号3
2.正方形：边长为3,面积为9
3.圆：2∏R=12,则R=∏分之6,则面积为=∏分之36
故：周长相等的情况下：圆面积>正方形面积>三角形面积
第二步,将正多边形像切蛋糕那样从中心点切成一片一片三角形,每一个三角形的面积等于边长乘以中心到边的距离除以2,于是整个多边形的面积等于周长乘以中心到边的距离除以2,周长一定时,中心到边的距离越长,面积越大.可证,边长越多时中心到边的距离越大,因为中心到边的距离为cot2PI/2N * C/2N,分别代入N和N'后相除比较大小即可,当边长趋于无穷时,中心到边的距离趋近于中心到顶点的距离,这时候面积是最大的.

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