已知函数f（x）=sinx（x≥0）,g（x）=ax（x≥0）,其中a为实数.1.若f（x）≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.2.当a=1时,求证：g（x）-f（x）≤（1/6）x³ （x≥0）.

已知函数f（x）=sinx（x≥0）,g（x）=ax（x≥0）,其中a为实数.1.若f（x）≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.2.当a=1时,求证：g（x）-f（x）≤（1/6）x³ （x≥0）.
已知函数f（x）=sinx（x≥0）,g（x）=ax（x≥0）,其中a为实数.
1.若f（x）≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
2.当a=1时,求证：g（x）-f（x）≤（1/6）x³ （x≥0）.

已知函数f（x）=sinx（x≥0）,g（x）=ax（x≥0）,其中a为实数.1.若f（x）≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.2.当a=1时,求证：g（x）-f（x）≤（1/6）x³ （x≥0）.
（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0）,
所以h'（x）=cosx-a．
若a≥1,h'（x）=cosx-a≤0,
所以h（x）=sinx-ax在区间（-∞,0]上单调递减,即h（x）≤h（0）=0,
所以sinx≤ax（x≥0）成立．
若a＜1,存在x0∈(0,π/2),使得cosx0=a,
所以x∈（0,x0）,h'（x）=cosx-a＞0,
所以h（x）=sinx-ax在区间（0,x0）上单调递增,
所以存在x使得h（x）＞h（0）=0,即此时f（x）≤g（x）不恒成立,
所以a＜1不符合题意舍去．
综上,a≥1．
（Ⅱ）由题意可得：a=1,所以g（x）=x（x≥0）,
所以（x）-g（x）=sinx-x（x≥0）,
所以原不等式等价于sinx-x-1/6x^3≤0（x≥0）,
设H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0),所以H′(x)=1-cosx-1/2x^2．
令G(x)=1-cosx-1/2x^2,所以G'（x）=sinx-x,
所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0）,
所以G(x)=1-cosx-1/2x^2在（0,+∞）上单调递减,
因此有：G(x)=1-cosx-1/2x^2≤G(0)=0,
即H′(x)=1-cosx-1/2x^2≤0,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0)单调递减,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3≤H(0)=0,
所以x-sinx-1/6x^3≤0（x≥0）恒成立,即x-sinx≤1/6x^3（x≥0）．

（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），
所以h'（x）=cosx-a．
若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，
所以h（x）=sinx-ax在区间（x>=0)上单调递减，即h（x）≤h（0）=0，
所以sinx≤ax（x≥0）成立． （3分）
若a＜1，存在x0∈(0，π/2)，使得cosx0=a，

全部展开

（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），
所以h'（x）=cosx-a．
若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，
所以h（x）=sinx-ax在区间（x>=0)上单调递减，即h（x）≤h（0）=0，
所以sinx≤ax（x≥0）成立． （3分）
若a＜1，存在x0∈(0，π/2)，使得cosx0=a，
所以x∈（0，x0），h'（x）=cosx-a＞0，
所以h（x）=sinx-ax在区间（0，x0）上单调递增，
所以存在x使得h（x）＞h（0）=0，即此时f（x）≤g（x）不恒成立，
所以a＜1不符合题意舍去．
综上，a≥1． （5分）
（Ⅱ）由题意可得：a=1，所以g（x）=x（x≥0），
所以f（x）-g（x）=sinx-x（x≥0），
所以原不等式等价于sinx-x-1/6x3≤0（x≥0），
设H(x)=x-sinx-1/6x3 (x≥0)，所以H′(x)=1-cosx-1/2x2．
令G(x)=1-cosx-1/2x2，所以G'（x）=sinx-x，
所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0），
所以G(x)=1-cosx-1/2x2在（0，+∞）上单调递减，（8分）
因此有：G(x)=1-cosx-1/2x2≤G(0)=0，
即H′(x)=1-cosx-1/2x2≤0，
所以H(x)=x-sinx-1/6x3 (x≥0)单调递减，（10分）
所以H(x)=x-sinx-1/6x3≤H(0)=0，
所以x-sinx-1/6x3≤0（x≥0）恒成立，即x-sinx≤1/6x3（x≥0）．

收起

(1)
f(x)）≤g(x)
sinx ≤ax
a>=1
(2)
a=1
g(x)-f(x)
=x-sinx
= x- ( x/1! - x^3/3! + x^5/5! - )
=x^3/3!-x^5/5! + x^7/7!-...
≤ x^3/3!
=x^3/6