作业帮已知函数fx的导函数f’x,满足xf'x+2fx=（lnx）/x,且 f(e)=1/（2e）,则fx的单调性情况为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 03:43:11
已知函数fx的导函数f’x,满足xf'x+2fx=（lnx）/x,且 f(e)=1/（2e）,则fx的单调性情况为?
已知函数fx的导函数f’x,满足xf'x+2fx=（lnx）/x,且 f(e)=1/（2e）,则fx的单调性情况为?
已知函数fx的导函数f’x,满足xf'x+2fx=（lnx）/x,且 f(e)=1/（2e）,则fx的单调性情况为?
xf'(x)+2f(x)=(lnx)/x,定义域为x＞0
===> x²*f'(x)+2xf(x)=lnx
===> [f(x)*x²]'=lnx
===> f(x)*x²=∫lnxdx=x*lnx-∫x*(1/x)dx=xlnx-x=x(lnx-1)
===> f(x)=(lnx-1)/x+C
已知f(e)=1/(2e) ===> C=1/(2e)
所以,f(x)=(lnx-1)/x+[1/(2e)]
那么,f'(x)=[(1/x)*x-(lnx-1)*1]/x²=(2-lnx)/x²
所以,当x=e²时,f'(x)=0
当x＞e²时,f'(x)＜0,f(x)单调递减；
当0＜x＜e²时,f'(x)＞0,f(x)单调递增.
单调性是递增的
写成微分方程：xy'+2y=lnx/x.①
由xy'+2y=0得dy/y+2dx/x=0,
积分得lny+2lnx=c,
∴y=C/x^2,
设y=C(x)/x^2,则y'=C'(x)/x^2-2C(x)/x^3,
代入①，x[C'(x)/x^2-2C(x)/x^3]+2C(x)/x^2=lnx/x,
∴C'(x)=lnx,
∴C(x)=xl...
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写成微分方程：xy'+2y=lnx/x.①
由xy'+2y=0得dy/y+2dx/x=0,
积分得lny+2lnx=c,
∴y=C/x^2,
设y=C(x)/x^2,则y'=C'(x)/x^2-2C(x)/x^3,
代入①，x[C'(x)/x^2-2C(x)/x^3]+2C(x)/x^2=lnx/x,
∴C'(x)=lnx,
∴C(x)=xlnx-x+c,
∴f(x)=(xlnx-x+c)/x^2,f(e)=c/e^2=(1/2)e,c=(1/2)e^3,
∴f(x)=[xlnx-x+(1/2)e^3]/x^2,x>0,
∴f'(x)=lnx/x^2-2[xlnx-x+(1/2)e^3]/x^3
=(-xlnx+2x-e^3)/x^3,
设g(x)=-xlnx+2x-e^3,则
g'(x)=-lnx+1,0
∴f'(x)<0,
∴f(x)是减函数。
请采纳答案，支持我一下。
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