f(x)=x3+x,证明这个函数的单调性

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 16:11:33

f(x)=x3+x,证明这个函数的单调性
f(x)=x3+x,证明这个函数的单调性

f(x)=x3+x,证明这个函数的单调性
f(x) = x^3 + x
显然有：f(0) = 0、f(-x) = -f(x),为奇函数
取小量 d > 0,考察函数增量变化趋势——
f(x + d) - f(x)
= [(x + d)^3 - x^3] + [(x + d) - x]
= 3x^2*d + 3x*d^2 + d^3 + d
= d*(3x^2 + 3d*x + d^2 + 1)
= 3d*[ x^2 + d*x + (d^2 + 1)/3 ]
考察上式两个因子有：
3d > 0
x^2 + d*x + (d^2 + 1)/3
= (x + d/2)^2 - (d^2)/4 + (d^2 + 1)/3
= (x + d/2)^2 + [(d^2)/12 + 1/3]
> 0
所以 f(x + d) - f(x) > 0 即函数在整个实数区间,单调增加

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