作业帮多元函数的偏导数问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 15:18:37
多元函数的偏导数问题
多元函数的偏导数问题
多元函数的偏导数问题
对于某一指定的y0,对应的函数f（x,y0）,应满足题设关系,其中df/dy=0（偏导数符号不好打,用d代替,f（x,y0）是x的一元函数,当x不变时,函数值不变,故函数对变量y的偏导数为零）,从而有x df/dx =0,其中x任意值下均成立,故必有df/dx 恒等于零（对于任意指定的y0均成立）.同理对函数f(x0,y)应用题设条件,可知df/dy也恒等于零.对于函数f(x,y),其全微分df=df/dx dx +df/dy dy恒等于零.该式对于任意x,y均成立,说明当x,y变化时,函数f(x,y)不会变化.即f(x,y)在整个定义域内恒为常数.
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对任意固定点（x，y），令g(t)=f(tx，ty)，则g(t)是可微函数，且g'(t)=x*af/ax(tx，ty)+y*af/ay(tx，ty)=【tx*af/ax(tx，ty)+ty*af/ay(tx，ty)】/t=0，t不等于0时。当t=0时，
按定义g'(0)=lim 【f(tx，ty)--f(0,0)】/t=lim 【tx*af/ax(0，0)+ty*af/ay(0,0)+小...
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对任意固定点（x，y），令g(t)=f(tx，ty)，则g(t)是可微函数，且g'(t)=x*af/ax(tx，ty)+y*af/ay(tx，ty)=【tx*af/ax(tx，ty)+ty*af/ay(tx，ty)】/t=0，t不等于0时。当t=0时，
按定义g'(0)=lim 【f(tx，ty)--f(0,0)】/t=lim 【tx*af/ax(0，0)+ty*af/ay(0,0)+小o(t)】/t=0，第一个等号是微分定义，因此总有g'(t)=0，故g(t)=g(0)=f(0,0)。
上式表明在过原点的直线上任一点的函数值=原点的函数值。因此f是常数。
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